対角スケーリング

連立一次方程式
$Ax=b$
において、係数行列の対角項を1にして解く方法について。
$D$ を対角項 $d_i$ が $d_i = a_{ii}^{-1/2}$ となっている対角行列とする。また、 $x=D\bar{x}$ とする。
これらを連立一次方程式に代入し、さらに左から $D$ をかけると
$DAD\bar{x}=Db$
$DAD$ の要素は
$(DAD)_{ij} = d_i d_j a_{ij}$
であるから、 $i=j$ のとき、すなわち対角項は $1$ となっている。
よって、手順として
1. $DAD = \{d_i d_j a_{ij} \}$ の計算
2. $Db$ の計算
3. $DAD\bar{x} = Db$ を解く
4. $x=D\bar{x}$ から $x$ を得る